Présentation de l'Exposition Imathgis

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Expositions

Explications

Les mathématiques ont un pouvoir infini de modélisation du monde. Mais elles peuvent gagner leur autonomie et devenir un lieu d'expression à part entière. Au-delà de ces beautés internes capables de subjuguer ceux qui ont fait l'effort de les atteindre, il est possible de lever un coin du voile quand on peut matérialiser certaines structures.

Les fonctions à deux variables itérées seront ce lieu, ici. Elles sont un espace d'immense liberté. On place ensemble plusieurs fonctions en résonance : en accumulant leur itération, elles produisent des traces de convergence mesurable par la richesse de leur confrontation. Chaque fonction munie d'une couleur laisse les marques de sa présence aux lieux où elle est contrainte.

Puis, il s'agit de faire résonner ces formes avec notre regard. Trouver le lieu où l'unité, la forme et la richesse s'harmonisent sans s'épuiser. La trace qui en résulte est au carrefour de la simplicité des définitions, de la complexité des interactions, et de la richesse des impressions.

Méthode en pratique

On choisit au moins deux transformations géométriques du plan . Elles transforment un point de coordonnées (x,y) en un nouveau point de coordonnées (x',y')=F(x,y)

Par exemple la fonction F(x,y) = ( X*SIN(K)-Y*COS(K) ; X*COS(K)+Y*SIN(K) ) transforme le plan :

G(x,y)=(1.5*y/(sqrt(x²+y²)+0.5);1.5*x/(sqrt(x²+y²) +0.5))
et H(x,y)=( X+0.05*cos(3.14*y+1); Y+0.2*sin(3.14*X)) produisent :

ITERATION DE COMPOSITION

Si on prend un point et qu'on le transforme par une des trois fonctions ci-dessus, qu'on recommence par une autre (ou la même), encore et encore, ... le point va au final se retrouver dans certains lieux du plan plus que d'autres. Ces lieux d'accumulation sont prévus par un théorème de convergence vers des points stables, ils vont former l'image finale. Les formes produites sont donc le lieu de stabilité qui existe entre les échanges entre certaines fonctions du plan.

USAGE DU HASARD COMME ACCELERATEUR DE CALCUL

Il serait très long de transformer quasiment tous les points du plan à la fois, aussi on utilise le hasard comme outil accélérateur. En prenant quelques millions de points au hasard dans les (x,y) de départ (entre -1 et 1), on leur fait subir chacun la longue série de transformations par les fonctions voulues dans un ordre au hasard. La loi des grands nombres nous explique qu'on peut obtenir une image aussi précise qu'on veut, il suffit de fabriquer assez de points.

PROPORTIONS ET COULEURS DES FONCTIONS

En pratique, on assigne à chaque fonction une proportion qui correspond à la probabilité d'être choisie à chaque étape de transformation du point dans une succession de 20 transformations (ce qui est suffisant pour stabiliser la convergence vu la taille des pixels). On choisit aussi une couleur pour chaque fonction. Au fur et mesure que la fonction avance la couleur de la fonction choisie s'ajoute à la couleur précédente de façon majoritaire. Dans l'image finale, on peut donc voir par la couleur des points ceux qui sont issus de chaque fonction et par les nuances des couleurs, on peut discerner la fonction immédiatement précédente (après il faudrait une très bonne dissociation des couleurs pour voir plus).

TRANFORMATIONS FINALES

Pour modeler l'ensemble, on se permet d'arranger le résultat par l'usage d'autres fonctions du plan.

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La définition en Mathématiques

Le projet

Définir en mathématique est une pratique fondamentale. Mais on s'interroge assez peu sur ce qu'engage une définition, sur les conditions de validité d'une définition. Or il y a redire sur la pertinence de certaines définitions, sur certaines affirmations d'existence, sur certains cadres de résolution de problèmes. Le fondement classique des Mathématiques a po...

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